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Dedos de Cantor: Probabilidad de ver un tránsito

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Autor Tema: Dedos de Cantor: Probabilidad de ver un tránsito  (Leído 263 veces)
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juagmire

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Masculino  Barcelona 
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« del : Vie, 26-May-2017, UTC 15h.18m. »

Antes de empezar perdón por las imagenes hechas con paint, el Gimp 2 me esta dando problemas.

En el capítulo de hoy vamos a analizar las probabilidades de que el tránsito de un planeta alrededor de su estrella puedan ser visibles desde la tierra. Nos centraremos en calcular la probabilidad de poder ver un planeta del tamaño de Júpiter alrededor de una estrella del tamaño del sol. El planeta se encuentra orbitando a una distancia de 1UA y la estrella se encuentra a 10 años luz. No pretendo ser 100% riguroso matemáticamente y he supuesto órbitas circulares, los exoplanetas y el sol tienen forma de disco desde nuestro punto de vista etc.. para hacerlo mas divulgativo. Únicamente utilizaré trigonometría (Mucha!), una integral y para la probabilidad será (área de transito)/(area de no tránsito). Si me animo crearé un excel que os dejaré en google drive que hará los cálculos de forma rigurosa y solo tendremos que poner como datos la órbita, la distancia de la estrella y el tamaño de la estrella y el exoplaneta. Empecemos!

Probabilidad de ver un tránsito

Nuestro objetivo es conocer la probabilidad cuando un exoplaneta oculta parcialmente su estrella tal y como se ve en la imagen de abajo.

Los pasos para calcularlo serán: 1) Calcular el tamaño aparente de la estrella y el exoplaneta. 2) Calcular el ángulo máximo de la inclinación de la órbita de nuestro exoplaneta seguirá ocultando parcialmente la estrella desde nuestro punto de vista. 3) calcular el área del casquete esférico de estas órbitas favorables y el área de la órbita no favorable. 4) Calcular la probabilidad.

Paso 1: El tamaño aparente

Para los cálculos que haremos en este artículo recurriremos constantemente a la tangente de un triángulo rectángulo. La tangente un ángulo "a" es igual a el cateto pequeño entre el cateto mayor, es decir, tan a = b/c. Necesitaremos la tangente para calcular el tamaño aparente de la estrella y el planeta para saber como de grande vemos el planeta y la estrella desde la tierra. Para hacerlo mas sencillo he supuesto que la estrella es un disco ya que de lo contrario tendríamos que calcular el punto de la tangente de la esfera blablabla.. buck2. En la imagen de abajo tenemos un esquema para visualizar las fórmulas mejor.



Datos:

beta = tamaño aparente. Es lo que estamos buscando
l = 10 años luz = 9.4608*10^13 km. En el caso del planeta l=10años luz - 1UA = 9.460785*10^13 km
d = diámetro. d = 1.391.400km la estrella. d = 139.822 el exoplaneta.

Como queremos encontrar beta y conocemos los diámetros "d" y la longitud "l" utilizaremos la tangente del ángulo. Pero ojo! No haremos tan (beta) sino tan(beta/2) ya que el ángulo hay que dividirlo entre dos para poder tener un triángulo rectángulo. La fórmula queda tan(beta/2) = d/l. Para despejar beta aplicaremos la inversa de la tangente que es el arcotangente y pasaremos el 2 al otro lado. Nos quedará beta = 2arctan (d/l). Metemos los datos y voilà.

tamaño aparente de la estrella = 1'685298233*10^-6º
tamaño aparente del exoplaneta = 1'693561472*10^-7º

Paso 2: Ángulo máximo de la órbita

Empezaremos calculando la inclinación máxima en la que el exoplaneta seguirá ocultando parcialmente la estrella para después generalizar y cubrir todas las posibles órbitas en la que hay tránsito. Veamos las siguiente imágenes para que quede mas claro.


A partir de este punto, si el planeta orbita un poco mas hacia arriba ya no ocultará parcialmente la estrella.


En esta imagen podemos ver la misma situación de lado. En verde sería la órbita máxima, "S" el ángulo que forma con el "plano".

Encontraremos "S" y "h" .



En esta imagen el ángulo "T" es la suma de las mitades de los tamaños aparentes del planeta y la estrella. Calcularemos S y "h" con la ayuda del Teorema del sinus. Conocemos T, t, e por lo tanto podremos conocer E. El teorema dice Sin(T)/t = Sin(E)/e. Despejando E nos queda E = arcsin[e*sin(T)/(t)]

Datos:

T = 9'273271901*10^-7º
e = 10 años luz
t = 1UA

Por lo tanto E = 179'415106º (ojo! al hacer arcsin en una calculadora o programa os dará un ángulo entre 0 y 90º por defecto, debéis coger 180 y restarle ese número)

Ahora S = 180-E-T = 0'5848930727º
Por último h = t-t*cos(S) = 7815'7 km

Solo hemos calculado un caso para calcular el área factible y la no factible para ver un tránsito desde la tierra.

Es decir, no nos interesa ninguna de estas órbita pintadas de color negro solo el área.


Paso 3:áreas




Aquí tenemos la fórmula y en la imagen que es cada parámetro. Imaginad que en el extremo de "a" tenemos el exoplaneta y en el centro de la esfera la estrella. Queremos calcular el área de color púrpura. Metemos los números en la calculadora y listo.

Datos:

h = 7815'7
r = 1UA

Área factible = 7'366123711*10^12 kilómetros cuadrados
Área no factible = área de una semiesfera de radio r - área factible = 1'413716694*10^17 kilómetros cuadrados

Probabilidad

Ala, después de tanta tangente, sinus y la madre que la parió ya podemos calcular la probabilidad.

Probabilidad = área factible / área no factible = 0'0000521

0'00521% de probabilidades de encontrar un tránsito!!! De cada mil estrellas con un exoplaneta del tamaño de Júpiter orbitando de forma circular a una distancia de 1UA con una inclinación aleatoria solo detectaríamos 5. En cuanto tenga mas tiempo prepararé un excel que haga todos los cálculos automáticamente por si queréis hacer simulaciones y jugar un poco viendo como cambian las probabilidades. También he querido hacer este artículo para mostraros lo potente que puede llegar a ser la trigonometría que se enseña en la ESO.

Sin mas gracias por leerme y cualquier duda o sugerencia dejadme un mensaje.

P.D.1 He tomado 1UA = 150.000.000km y la velocidad de la luz 300.000km/s.
P.D.2 Es la primera vez que intento escribir fórmulas en un foro, alguien sabe como insertarlas ya sea con LaTex u otra cosa?


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