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Dedos de Cantor: ¿Soy malo jugando al billar?

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Autor Tema: Dedos de Cantor: ¿Soy malo jugando al billar?  (Leído 191 veces)
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juagmire

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Masculino  Barcelona 
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« del : Lun, 10-Jul-2017, UTC 21h.45m. »

¿Alguna vez os habéis preguntado con cuantos decimales del número pi trabajan en la NASA? ¿Y el LHC? Hoy hablaremos de la propagación de errores y las consecuencias en dos ejemplos que leí que me gustaron mucho.

¿Soy malo jugando al billar?

¿Qué es un error numérico?

Las matemáticas pertenecen a un mundo fantástico donde tienes pocas preocupaciones. Si te preguntan cuanto mide un árbol en tu mundo matemático dices "a" y te quedan tan pancho. ¿A qué velocidad va ese tren? Y tu contestas "b" y ale. Todo era paz y amor hasta que llegaron los puñeteros físicos (si ahí algún físico que esta leyendo esto que se da por ofendido me alegro! es broma  angel ), químicos... exigiendo que las mates deberían servir para explicar el mundo que nos rodea y ahí empezaron los problemas. Según la Wikipedia un error es : "La incertidumbre o error numérico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene". Es decir, como de correcto es el número que tu has obtenido respecto a la realidad. Por ejemplo, cuando te pesas en una báscula. La báscula puede estar mal calibrada y marca que pesas 3 kilos de más de lo que pesas realmente. O se te ha olvidado quitarte el anillo de boda, entonces la báscula incrementará tu peso marcado unos cuantos gramos dependiendo del amor que te tenía tu pareja a la hora de comprarlo. También tienen errores los radares de velocidad, los metros, las cámaras ccd al medir magnitudes... Y no solo eso, sino que en el hipotético caso que consigamos una maquina de medir perfecta, pueden aparecer errores por la naturaleza propia del objeto que estamos midiendo, como es el caso de las partículas subatómicas. También es un error decir que pi = 3.14. Pero la pregunta es ¿Hasta que punto importan los errores? Pues depende. Si pesan a un luchador de peso welter (max 77.1 kg) con una báscula con un error de 3 kg pues es un error grabe. Pero puede resultar aún mas crítico si vamos a realizar operaciones con estos datos. En este tema entran la propagación de errores.

Propagación de errores

Cuando hacemos operaciones matemáticas con ciertos números que tiene errores puede pasar que el error crezca poco, mucho o brutaaaalmete. Aquí lo que nos han enseñado de pequeños de que el orden de los factores no altera el producto es mentira (y en otros muchos campos). No es lo mismo primero sumar y luego multiplicar que hacerlo al revés porque el error será diferente. Por lo tanto ya no solo tenemos los errores al medir, sino que al haber hecho operaciones nos aparecen errores nuevos. Además si vamos a calcular el resultado en un ordenador, por su propia arquitectura nos van a meter aún mas errores. ¿Estamos jodidos entonces? Pues no, gracias a las derivadas podemos estudiar exactamente como irá cambiando el error según las operaciones que hagamos, esto es, estudiar la propagación de errores. Cuando estudiaba análisis numérico leímos un artículo muy bueno sobre la propagación de errores y el billar escrito por Michael Berry. Este es un resumen.



 Supongamos que hay un jugador de billar perfecto, que conoce perfectamente la resistencia de la mesa, las bolas son perfectamente esféricas y si el jugador quiere enviar la bola a un punto exacto, lo consigue. Este jugador se juega con un amigo una birra en un bar a ver cuantas carambolas puede hacer, metiendo la última bola en el agujero. Hacer 2 carambolas chupado, tres también y cuatro y cinco, porque recordemos que es un jugador perfecto. Pero llega un momento que intenta hacer 9 carambolas y falla. No sabe que ha podido pasar, el es un jugador perfecto que no falla. Intenta repetirlo una y otra vez y nada. Pero se da cuenta de una cosa. Si su amigo está en un punto de la habitación la pelota va hacia un lado, si cuando lo vuelve a intentar su compañero está en otro lugar la bola final va a otro punto distinto. Entonces se da cuenta de que la gravedad de su amigo importará a la hora de calcular una trayectoria con 9 carambolas. Bien, ahora tiene en cuenta la gravedad y acierta!. Continua e intenta hacer 11, vuelve a fallar por culpa de la gravedad del camarero del bar. Entonces se pregunta "¿y si quiero hacer 60 carambolas qué tendré que tener en cuenta?" El resultado es sorprendente, deberá tener en cuenta el átomo mas alejado de la tierra. UN PUTO ÁTOMO A MILES DE MILLONES DE AÑOS LUZ DE DISTÀNCIA. Pa pegarse un tiro por los datos que debes manejar.

Este es un ejemplo hipotético. Pero ahora vamos con uno real o que podría serlo (puede que sea una leyenda urbana). Un programador de un banco se dio cuenta de que los programas que utilizaban en la entidad solo aparecían en pantalla hasta la milésima parte de un céntimo, es decir, 0,000001€. Entonces vio un negocio claro. Si un cliente tiene 123.456.789,111213€ en una cartera de inversiones que le rinde 0'01% diarios, este cliente recibiría 12345,6789111213€ diarios pero solo verá reflejado en su cuenta 12345,678911€ por los decimales con los que trabaja el banco. ¿Que pasa con el 0'0000001213€? Pues que se los quedará el programador. Si a esto le sumamos los millones de clientes de un banco con sus cuentas de ahorros, planes de pensiones etc. El programador se hará millonario en muy poco tiempo. Según la historia al final le acabaron pillando por los millones de transferencias a su cuenta bancaria por un valor de 0,000000€ pero que tenia decimales ocultos.

Estos son solo ejemplos de la propagación de los errores y su importancia en la vida real. Gracias a su estudio podemos no solo estudiar como irá variando, sino que ademas seremos capaces de utilizar operaciones equivalentes a las originales para que los errores disminuyan de una forma drástica. Por ejemplo, podemos utilizar que pi=3.14 (recordemos que pi tiene infinitos decimales) y que el error de salida después de hacer varias operaciones equivalente adecuadas sea del orden de +-0.0000000000001, todo un éxito.

Espero que os haya gustado. Ahora la próxima vez que juguéis al billar y falléis un tiro no es porque seáis malos, sino por que vuestro amigo esta perturbando el tejido espacio-tiempo. Así que estaréis en todo vuestro derecho de echarle la culpa a él. De nada Giñar.

P.D. No he podido encontrar el artículo del billar y he utilizado los datos de memoria, por lo tanto puede haber un error de +-2 carambolas en el caso de las carambolas 9 y 10. Y el error de las 56 carambolas puede que sea de +-10 carambolas.

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