aproximación coloquial a conceptos matemáticos de probabilidad y dispersión aplicados a telescopios astronómicos de aficionado y amateur.


PSF   Point Spread Function,  " función de desparrame    " ....   es la función que te convierte un punto matemático, (lo que ES una estrella a tan grandes distancias), a algo por ejemplo: una manchita con forma superficial en un detector a partir de un determinado aumento límite, desenfoque, movimiento, o defectos variados.  

Disco de Airy

Siempre hay un límite, el más perfecto debería ser el disco-anillos de Airy, y viene por la propia limitación de la abertura del tubo y la naturaleza ondulatoria de la luz -----> límite en resolución.
Pero la descolimación, irregularidades e imperfecciones, ( difracción por la araña y secundario ---> espigas), es lo que te dará esas "formas finales" pocas veces "queridas".  
Por encima aún tienes el seeing, que deforma eso con movimientos al azar,
 ... y también dispersado por los irregulares movimientos del seguimiento y correcciones, éstos últimos pueden ser al azar o sistemáticos como por una mala puesta en estación, o por baja calidad óptica que enmascararán ese límite inferior al que podemos aspirar: "el disco de Airy".
éste ya sería otro tema: atmósfera: transparencia, seeing, refracción, extinción reddening
El límite teórico al que el telescopio puede llegar, está marcado por su abertura (tamaño lente o espejo ),  a partir de allí solo obtendremos ésta figura, que podemos ir aumentando, viéndola más difusa y débil al repartir su brillo en más espacio.

Ya sabéis que un fotón se comporta como partícula y onda.
El típico experimento es actuar sobre un haz monocromático (láser) pasando entre rendija (o caso de la foto abajo, un agujerito) y obtener esos patrones concéntricos de anillos de dispersión.
En un telescopio tenemos algo similar,  hay un límite de aumentos y resolución que nos produce en el límite teórico esa dispersión de Airy, por observar con un tamaño de tubo finito,  los que tienen espejo secundario mas grande, la mancha es mas dispersa grande y potente el anillo exterior,  de aquí que un diseño catadióptrico se quede con una imagen general con menos contraste.

Ah, y atención !  en un telescopio observamos visualmente y en (muchos casos) astrofoto integrando continuamente una ventana espectral.
La mancha de difracción y el disco de Airy es proporcional a la longitud de onda del color referido. Por tanto en rojo es mas grande, y en azul mas pequeño. Si integramos toda esa luz vemos que la mancha de Airy siempre nos aparecerá levemente irisada de "tonos pastel".  Podemos ver, que con buen seeing, la mancha que obtenemos a muy alto aumento (cuando nos deja la atmósfera), esa mancha teórica se asemeja bastante a la real.
ATENCIÓN, ... aquí no hablamos ahora de refractores (dobletes, tripletes ... siempre imperfectos) que acaban modulando ésta teórica forma y tono del disco de Airy,

Deconvolución:  
O sea que tenemos que lo que vemos: una convolución de la PSF x un punto matemático = es la propia PSF.  En un planeta o imagen mas compleja no se ve así, y obtenemos un difuminado, pues todos los pixels vecinos contribuyen sobre áreas vecinas, ... pero la observación de un satélite puede darnos una buena pista, ... con ojo! porqué éstos aunque pequeños presentan cierto diámetro.   Lo que realmente nos interesaría, es conocer bien esa PSF en una imagen, para poder recuperar la "original" antes de la distorsión en cada punto.

Gaussiana:
demostrado por el teorema central del límite central , tanto error junto de diferente índole, hace que una serie de variables con su error propio al azar, te den una dispersión típica que se aproxima a una "campana de Gauss".


La campana de Gauss: Es tambien conocida como distribución normal,
es una función de probabilidad continua y simétrica,
cuyo máximo es la media y tiene dos puntos de inflexión situados en ambos lados
Puede representar el comportamiento de los valores de una población o
universo de eventos cuyas variaciones estan influenciadas por fenómenos aleatorios

es una buena aproximación a la dispersión de datos, cuando no hay 1 solo error dominante ni es de naturaleza concreta, ...  

el FWHM   Full Width to Half Maxim   ( anchura total a altura mitad), funciona muy bien para definir la dispersión en una buena toma, ... como decía en la que no haya un error y sistemático, de naturaleza no estocástica ( o sea que no sea del tipo: rayote por dar patada el trípode,  no funciona seguimiento, el contéo es realmente muy muy bajo, etc ...).

ésta propiedad de la función comentada, se utiliza por ejemplo para saber la posición exacta de una estrella, ... lo que se denomina centroide.  Con precisión de SUBPIXEL,  inferior al pixel.

puede tener forma tridimensional, cuando aplicamos a valores sobre una CCD

si estudiamos la dispersión versus el centro de un círculo, podemos reducirla a una dimensión menos, teniendo en cuenta solo la distancia al centro



como veis, también puede representar la dispersión de medidas respecto un eje central

y éstas son el % en área que encierra a una amplitud sigma, o desviación media

Para aplicar lo anterior: el contéo (probabilidad suceso) tampoco puede ser realmente bajo,  ... como cuando por ejemplo cuando vemos ... 3, 4 ,5, 6... meteoros/hora .  Si es así tendremos mas bien una

estudiar ésta distribución de Poisson, es muy interesante para conocer con pocos datos,  que tipo de dispersión tenemos allí,   si es al azar?, o por el contrario muestra dos tipologías antagónicas:  (1) agregación (clusters)   o  (2) Uniformidad en la dispersión (una plantación artificial).
Cuando tenemos muchos eventos,  en nuestro caso fotones el Lambda es tan grande que se iguala a una gaussiana.


por cierto, no os perdáis éste tema:
el efecto espigas de difracción y nº va según las patas de araña del secundario
la forma de las espigas en estrellas depende de las patas del secundario

- - -

[DECONVOLUCIÓN]

convolución, deconvolución, PSF

para ser rápidos sin entrar en matemáticas, solo conceptos rapiditos:

una convolución sería ésto
aplicar una matriz lineal,  un filtro desenfoque a cada punto de la imagen



la función desenfoque o PSF, está aumentada  4 veces para ver que sucede
PSF.:   Point Spread Function  ( o función de desparrame )

en toda imagen, la emborrona, y causa una mezcla de valores con sus pixels vecinos
en el caso de Saturno se ve lo típico que ocurre  ( no se ve la función  convolución)
y en el caso de la estrella también ,  pero aquí hay un particularidad,  "el truco "  !! ya tenemos ésta PSF

las estrellas son puntitos quasimatemáticos en el cielo, o por lo menos a lo que nosotros pobres mortales respecta
por lo que al aplicar una función convolución a un punto matemático,  tenemos a  ELLA MISMA !


si tenemos una estrella suficientemente aislada y con buena señal,  podemos cogerla como función convolutiva
e intentar LA  DECONVOLUCIÓN  , que es el paso contrario, la restauración de la señal original



problemas:  todos los pixels están afectados, de una imagen que debería ser un punto, como una estrella, podemos obtener muy bien la PSF (bajo ciertas condiciones)
peeero de una imagen de algo con diámetro y forma aparente (un planeta),  no podemos sacar esa función que nos interesa para restaurar,  ... quizás "intuir"   como  sería un movimiento lateral, como un coche corriendo a una velocidad demasiado alta para nuestro obturador  (aquí ésta función sería una simple linea, de longitud X  correspondiente al movimiento del coche en el intervalo fotografiado).
Ya no podemos hacer una operación lineal,  y hay que pasar a hacer la Deconvolución, lo que se llama en el espacio de las frecuencias por una sere de propiedades que nos da, que hacen posible ésta restauración si es que sabemos la función convolutiva.  Hay que tener en cuenta ciertas limitaciones,  "boundary effects" en los bordes y por ser una imagen finita las frecuencias quedan truncadas, etc etc ...





https://www.manuelj.com/Tutorials/Deconvolution



habría que hacer mas hilos de guía rápida del estilo, con los conceptos de    DARK, FLAT, y BIAS  ...  así rápido y coloquial sin más consideraciones teóricas, simplemente para captar el concepto básico 

¿quien se atreve?

- - -

(copio éste post, que sirve como ejemplo)
viene de    cronica de este viernes en daganzo

aprovechando ésta foto experimental hecha por un user




el M13,  nos servirá para demostrar un poco el poder de la deconvolución
escogiendo como psf  (imagen de "desparrame" de un punto matemático),  a una de esas estrellas con doble exposición  estilo  ":"
primero reescalo la imagen al doble de tamaño, pues trabajaremos mejor, la imagen tiene un enfoque que lo admite bien

conociendo la función "emborronadora", se recupera la imagen original

y dándole un poco de contraste:


lo divertido ahora, es que algún pixel caliente único,  se ha convertido en doble

(podían haber sido eliminados antes fácilmente, se identifican muy bien ...  pero así nos ha servido para ver que ocurre)

- - -

[Astrofotografía de Cielo Profundo]

   la fórmula es    206,265  x  tamaño pixel micras /  focal en milímetros   = resolución en arcosegundos/pixel


->  Calculos CCD: Resolucion, Longitud, Focal optimas
->  Cámaras CCD astronomía, comparativa, simulador de campo FOV, sensibilidades chip
->  sensibilidad y calidad de imagen, relación señal/ruido, ganancia
-> (breve) Iniciación en astrofoto: Software, tiempos de exposición, etc...

-> Opciones para autoguía del Telescopio. El autoguiado para astrofotografía
-> Guía de Iniciación a la Astrofotografía: Autoguía del Telescopio

-> Monturas para astrofoto: LXD75, CG5 AS-GT, HEQ-5, CGEM y más
-> re.:  Buscando el Refractor perfecto!!!!


Notas sobre la resolución óptima:
La regla aproximada para calcular la resolucion por pixel es llegar a 2 segundos de arco por pixel para imagenes de cielo profundo y a alrededor de ½ segundo de arco por pixel en imagen planetaria.
Teóricamente, lo ideal es que la resolución por pixel debe ser la mitad del valor del "seeing" del lugar de observación, (por ejemplo si este suele ser de alrededor de 3 segundos de arco, la resolución por pixel debería ser de aprox. 1,5 segundos de arco por pixel).
Es preferible un ligero "oversampling" al "undersampling", ya que éste dara estrellas tipo "cubito" (en el ejemplo anterior, 1 segundo de arco por pixel seria mas adecuado que 2 segundos de arco por pixel). Ademas, el "oversampling" puede ser util a la hora de aplicar la "deconvolucion de maxima entropia" al tratar las imagenes.

desde conferencia Ramón Naves sobre Elección del instrumental adecuado.  


para

Astrofotografía de Cielo Profundo

dicen que 2"  por pixel,   pero verás en la práctica que las imágenes tienen una  FWHM cuando es buena de 4"  pasando a los 3.5" o 3"  o 2.5" ??  en excelentes equipos ya con Óptica Adaptativa  ( +buen seguimiento obviamente, + noches de seeing en calma) .
lucky imaging: dejo el concepto que sería: ¿todo eso eso mejorable con tomas más cortas y sus apilados?  cuánto y qué tiempos ?


para

imágenes de Planetaria (videoplanetaria mas bien).

eso cambia. ya veis que hay que acercarse (con equipos medios - pues dependerá del equipo ) hacia los 0.5" de arco de resolución todo lo que podáis,  o en todo caso incluso superar la capacidad resolutiva teórica del telescopio,  y la técnica a emplear es el promediado de cientos o miles de frames (todas las que podáis, sin que rote el planeta), mediante una cámara de video lo mas adecuada y fina posible  (webcam también),
Drizzle: es un método de procesamiento de imágenes digitales para la reconstrucción lineal de imágenes submuestreadas.

Tips: Astrofotografía de planetas y la Luna en alta resolución
Barlow para astrofotografía planetaria con webcam o video imágenes
Máxima Exposición en Planetaria: duración vídeo s/ resolución buscada


para

Astrometría

en nuestros cielos "normales", si quieres hacer trabajo científico como astrometría, et. ...,  deberías evolucionar hacia el límite de  1,5" de arco por pixel,
( en los lugares excepcionales pueden intentar el 1" arco por pixel ).


para

Fotometría de estrellas variables

aquí entramos en otra "película". Para tener precisión necesitamos tener estrellas de comparación en el campo fotografiado, a su vez tener suficiente aumento para que la estrella a medir no sufra de contaminarse de luz de otra estrella ajena.  Es posible que la precisión de medida aumente desenfocando ligeramente el campo. Incluso en caso de dobles cercanas "puede" ser mejor midiendo el par en conjunto ...   mediante Binning .


Para obtener más información detallada, consulta el siguiente Tema


RECURSOS INTERNET: Webcams para astronomía, Planetaria y calculadora fov


los megapixels, forma de medir la resolución en las DSLR merecen un tratamiento aparte

Astrofoto: de entrada piensas aprovecho la Réflex-DSLR pero...


la fórmula es
tamaño pixel en micras    x    206.265   / focal equipo en mm    =   resolución en segundos arco/pixel

Para calcular la resolución   debemos utilizar estas sencillas formulas:
 pixel / focal x 206,265 = resolución
Ejemplos :
S/C 12"  a f 6,6 =  2035 mm de focal +  cámara CCD ST9-E  20 micras = 2.03 segundos de arco por pixel
S/C 10" a f3,6= 900 mm de focal + cámara CCD ST7-ME 9 micras =2.06 segundos de arco por pixel
 Ambas combinaciones proporcionaran imágenes semejantes  pese a la discrepancia de focal utilizada, y si ambas cámaras fueran de la misma eficiencia  cuántica obtendríamos exactamente la misma respuesta  o sensibilidad.

https://cometas.fotografiaastronomica.com/conferen/instrumental.html

Webcams and cameras for astrophotography - List of cams for astrophotography.

- - -

Buenas, os subo al foro una publicación del blog sobre la estos temas, también intentando quitarle hierro matemático al asunto, que lo tiene (y mucho).

https://sideribus.com/blog/la-funcion-de-dispersion-de-punto-psf

- - -

he actualizado, y recuperado algunas imágenes de éste hilo.

- - -